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解压轴题,学会方法和努力双结合,重点题型重

2019-09-23 11:25

分类讨论作为中考数学当中最常见的命题对象之一,其重要性不言而喻,往往都作为综合题来考查考生的综合能力,起到选拔人才的作用。


数学本身就是一门比较难学的科目,关键是在很多时候,它能影响大家的总分,甚至成为一些学生读重点高中还是普通高中的关键因素。像分类讨论这些重要知识点,又是大家解好压轴题的必学内容,自然成为所有学生努力攻克的对象。


分类讨论一般是指当被研究的问题存在一些不确定的因素,无法用统一的方法或结论给出统一的表述时,按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论,分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题,化整为零地解决问题。


​​分类讨论相关的试题,可能会存在多个分类标准,分类顺序灵活多变,入口宽,方法多,这给学生的解题带来一定的挑战,如在解题过程中,大家虽然看懂题目,但又不知从何下手,找不到解题突破口,特别是要做到分类不重不漏,有理有据的解决问题,这对于大部分的学生来说,就存在一定困难。


在中考数学里,粗略的去划分分类讨论的题型,一般可以分成几何类分类讨论和函数类分类讨论。这两种题型,本质上区别不大,很多时候都会综合在一起,形成综合性更强的题型。如在点或线的运动过程中,产生多种情况,在解决这些量之间关系的时候,就需要建立起函数关系式去解决问题。


​分类讨论有关的中考试题,典型例题分析1:


如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1.


(1)求B点坐标;


(2)求证:ME是⊙P的切线;


(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点,


①求△ACQ周长的最小值;


②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式.




​考点分析;


二次函数综合题.


题干分析:


(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,由正方形CDEF的面积为1,可得CD=CF=1,根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由PB=PE,根据勾股定理即可求得n的值,继而求得B的坐标;


(2)由(1)知A(0,2),C(2,0),即可求得抛物线的解析式,然后求得FM的长,则可得△PEF∽△EMF,则可证得∠PEM=90°,即ME是⊙P的切线;


(3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,则有AQ=A′Q,△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长,利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值;


②分别当Q点在F点上方时,当Q点在线段FN上时,当Q点在N点下方时去分析即可求得答案.


解题反思:


此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,圆的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性很强,题目难度较大,解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用.


​要清楚分类讨论的原则有哪些:


1、分类中的每一部分是相互独立的;


2、一次分类按一个标准;


3、分类讨论应逐级进行,正确的分类讨论必须是周全的,既不重复、也不遗漏。


分类讨论有关的中考试题,典型例题分析2:


如图1,已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A(m,1),与y轴交于点C,顶点为B,将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2,点A,B的对应点分别为点D,E.


(1)直接写出点A,C,D的坐标;


(2)当四边形ABCD是矩形时,求a的值及抛物线y2的解析式;


(3)在(2)的条件下,连接DC,线段DC上的动点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止,在点P运动的过程中,过点P作直线l⊥x轴,将矩形ABDE沿直线l折叠,设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系.





​考点分析:


二次函数综合题.


题干分析:


(1)直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值,因为由图象可知点A在第一象限,所以m≠0,则m=2,写出A,C的坐标,点D与点A关于点C对称,由此写出点D的坐标;


(2)根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标,再由矩形对角线相等且平分得:BC=CD,在直角△BMC中,由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式,由旋转的性质得出抛物线y2的解析式;


(3)分两种情况讨论:①当0≤t≤1时,S=S△GHD=S△PDH+S△PDG,作辅助线构建直角三角形,求出PG和PH,利用面积公式计算;②当1<t≤2时,S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合,这里不重合的图形就是△GE′F,利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论.


在很多文章里,我们都提到一点,中考不仅仅是考查大家掌握了多少知识定理和方法技巧,关键是考查你运用知识解决问题的能力。因此,像分类讨论这些能很好考查考生综合能力的重点题型,自然成为命题老师青睐的对象,一直是中考数学压轴题的热点,大家无论是在平时的学习过程,还是在中考复习冲刺阶段,一定要对分类讨论相关题型多花心思,多总结多反思,全面提高学习能力。